de la proposition indécidable
1. Supposons une proposition indécidable, c'est-à-dire que nous ne pouvons démontrer par les axiomes admis. Elle peut cependant être démontrée par un autre chemin.
Supposons que cette proposition puisse néanmoins être vérifiée, ou invalidée, dans certains cas, je veux dire qu'elle puisse être confrontée à des résultats numériques par exemple, comme peut l'être une égalité.
Maintenant, ex absurdo: si je constatais que cette proposition était fausse dans un cas, je devrais bien sûr conclure qu'elle est fausse, qu'elle n'est donc pas indécidable. Or elle est indécidable.
Mais l'ai-je bien démontré "fausse" à partir des axiomes? Admettons que oui. (Il me semble néanmoins qu'ici le bât blesse... on le verra plus loin plus cruellement encore!)
En revanche, si elle est vraie dans un cas, cela ne prouve nullement qu'elle est vraie en général.
2. Puisqu'elle est indécidable, elle ne sera en aucun cas falsifiée, elle sera par conséquent vraie dans chaque cas.
Je dois donc conclure que quel que soit le cas, elle sera valable dans ce cas. Cela suppose bien sûr qu'une proposition qui n'est pas fausse est vraie, ce qui n'est pas le cas pour p dont le contenu est "p est fausse". Elle ne peut pas être fausse, car elle serait vraie... Mais elle ne peut pas être vraie, car alors elle serait fausse.
Or le raisonnement qui part du caractère indécidable pour valider la proposition dans chaque cas n'est-il pas une induction logique (non empirique)? Et n'est-on pas cette fois parti de certains axiomes (comme on le supposait plus haut?)
Les finitistes s'interdisent, en somme, d'user du raisonnement par induction quand il y a un nombre infini de cas, certes il n'y a aucun cas où p sera fausse, mais elle n'est pas pour autant, selon eux, encore vérifiée dans tous les cas, c'est-à-dire une infinité!
Et bien sûr, je ne confronte pas réellement une formule à chaque cas donné, je suppose que parce qu'elle est indécidable, elle triomphera de chaque cas donné. Mais il y a en effet des propositions qui ont cette propriété, d'être vraies dans tous les cas donnés, mais non démontrées. Je conclus alors qu'elles sont, jusqu'à preuve du contraire, indécidables, mais ce n'est pas le même raisonnement - du fait même de cet ajout, "jusqu'à preuve du contraire", de cette hypothèque.
Bref n'ai-je pas fait ce qui est impossible par définition, à savoir démontrer (en général) toute proposition indécidable (du moment qu'elle ne renferme pas un paradoxe, qu'elle ne dit pas blanc et noir à la fois)? Oui, mais pas par dérivation de certains axiomes, par un raisonnement valable pour toute axiomatique, du moment que la proposition puisse être confrontée à une multiplicité de cas, qu'elle respecte une sémantique, mais qu'elle est par hypothèse irréductible aux axiomes particuliers.
En général, nous ne savons pas a priori si une proposition est ou non indécidable. Ce raisonnement est donc inapplicable.
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