Supposons une proposition indécidable, c'est-à-dire que nous ne pouvons démontrer par les axiomes admis. Elle peut cependant être démontrée par un autre chemin.

Supposons que cette proposition puisse néanmoins être vérifiée, ou invalidée, dans certains cas, je veux dire qu'elle puisse être confrontée à des résultats numériques par exemple, comme peut l'être une égalité. 

Maintenant, ex absurdo: si je constate que cette proposition est fausse dans un cas, je dois conclure qu'elle est fausse, qu'elle n'est donc pas indécidable. Mais l'ai-je bien démontré à partir des axiomes? Admettons que oui. Il me semble néanmoins qu'ici le bât blesse...

Puisqu'elle est indécidable, elle ne sera en aucun cas falsifiée, elle sera par conséquent vraie dans tous ces cas, et donc dans tous les cas possibles.

Je dois donc conclure que quel que soit le cas, elle sera valable dans ce cas.

Or un tel raisonnement n'est-il pas un raisonnement par récurrence? Ou du moins une induction logque?

Les finitistes s'interdisent, en somme, d'user du raisonnement par induction logique, certes il n'y a aucun cas où elle sera fausse, mais elle n'est pas pour autant encore vérifiée! Et bien sûr, je ne confronte pas réellement une formule à chaque cas donné, je suppose que parce qu'elle est indécidable, elle triomphera de chaque cas donné. Mais il y a en effet des propositions qui ont cette propriété, d'être vraies dans tous les cas donnés, mais non démontrées. Je conclus alors qu'elles sont, jusqu'à preuve du contraire,  indécidables, mais ce n'est pas le même raisonnement. 

Bref n'ai-je pas fait ce qui est impossible par définition, à savoir démontré la proposition indécidable? Oui, mais pas par dérivation de certains axiomes, par un raisonnement valable pour toute axiomatique, du moment que la proposition puisse être confrontée à une multiplicité de cas, qu'elle respecte une sémantique, mais qu'elle est par hypothèse irréductible aux axiomes particuliers.